Svar Före-läsningsuppgift dag 12

Genom förenkling får man att

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = x^6 + 6.

Av faktorsatsen följer det att x = 1, x=2, x=3, x=4, x=5, x=6 alla är lösningar till ekvationen  x^6 + 6 = 0. Denna ekvation kan också skrivas som x^6 = 1 genom att lägga till ett på varje sida. Och detta är precis Fermats lilla sats, nämligen att x^6 = 1 i Z_7 om x \neq 0.

Vi kan gå åt andra hållet också. Utgå från ekvationen x^6 = 1. Skriv om den till x^6 + 6 = 0. Vi vet att den ekvationen har 6 lösningar, nämligen x = 1, x= 2, x= 3, x=4, x=5, x=6. Enligt faktorsatsen följer det att (x-1), (x-2), \ldots, (x-6) är faktorer till x^6 +6 och alltså måste  x^6 +6 =(x-1)\cdots(x-2) \cdots (x-6).

I allmänhet har vi att (x-1) \cdots (x-(p-1)) = x^p +p-1 i Z_p, p ett primtal, eftersom 1,2,\ldots,p-1 är lösningar till ekvationen x^p = 1. Särskilt måste det gälla att konstanttermerna i VL och HL är lika, dvs

-1 \cdot -2 \cdots -(p-1) = p-1. Eftersom det finns ett jämnt antal termer i vänsterledet kan vi bortse från minustecknet. Vi har alltså visat likheten 1 \cdot 2 \cdots (p-1) = p-1. Detta är specialfallet av ett problem som gavs på en föreläsning - nämligen vad är produkten av de inverterbara elementen i Z_m? Vi har nu löst det problemet när m är ett primtal.

Senast modifierad: torsdag, 12 december 2013, 20:59