Svar före-läsningsuppgift dag 2

1. Nej, både m och n kan inte samtidigt vara positiva heltal, ty detta skulle innebära att ma + nb \geq a+ b. Eftersom d | a och d | b så har vi att a \geq d och b \geq d. Alltså blir ma + nb \geq 2d, vilket är en motsägelse eftersom ma + nb = d.

2. Nej, både m och n kan inte samtidigt vara negativa heltal, detta skulle ge att ma + nb < 0, vilket är en motsägelse eftersom d = ma + nb är ett positivt heltal.

3. Antag nu att m<0 och n>0 och att ma + nb = d. Vi lägger till ab - ab på båda sidor och får (m+b)a + (n-a)b = d. Nu har faktorn framför a blivit större och faktorn framför b blivit mindre. Självklart kan vi fortsätta denna konstruktion för att få (m+kb)a + (n-ka)b = d, där k är ett godtyckligt positivt heltal. Det innebär att vi kan välja k så stort att m + kb blir positivt och att n - ka blir negativt.

Anm: Det finns ytterligare en möjlghet utöver de tre som presenteras - nämligen att minst en av m och n är noll. Båda kan inte vara noll, för då skulle d bli noll. Men en kan faktiskt vara noll. Varför?

Senast modifierad: torsdag, 7 november 2013, 09:53