Diskussionsforum

Fråga video 6.1.

Fråga video 6.1.

by Nestor Le Nestour -
Number of replies: 3

Hej, jag har ett par frågor om materialet i video 6.1.:

  • Jag förstår inte Martins exempel i video 6.1. Han beskriver en sats som säger att om \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} och kurvintegralen är över ett område för vilket vi kan använda Greens, så blir kurvintegralen 0. Men sen visar han på enhetscirkeln att integralen inte blir 0. Varför kan vi inte använda Greens formel över enhetscirkeln?
  • Lösningsförslag till övningsuppgift på video 6.1. Jag förstår inte lösningsförslaget. De står att var och en av kurvorna kan “deformeras” till en enhetscirkel. Vad betyder detta matematiskt?

Tack!
Nestor


In reply to Nestor Le Nestour

Sv: Fråga video 6.1.

by Ludvig Olsson -
Hej.

Om det är tillåtet att använda Greens sats beror inte bara på området, utan även formen/vektorfältet man integrerar över. Den måste vara definierad inuti det område D som dyker upp i Greens sats. I exemplet integreras det över formen

\frac{-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dx,

som inte är definierad i punkten (x,y)=(0,0). Faktum är att den är definierad överallt annars, så punkten (0,0) är en sorts singularitet till funktionen, vilket bidrar till att integralen inte är 0.


Lösningsförslaget i uppgiften skulle kunna vara tydligare, det går att definiera matematiskt vad det innebär att deformera enhetscirkeln men det är inte särskilt lätt och inte något ni har gått igenom.

Tänk istället så här: Om du ritar enhetcirkeln tillsammans med (den inre) kurvan i uppgiften på planet, får du en figur som ser (ungefär) som två cirklar kring origo som skär varandra i en punkt. Om du nu tittar på området mellan de två cirklarna kan du använda greens sats, eftersom formen ovan är definierad i området.

Randen till området går först genom den yttre cirkeln (motsols) och sedan genom den inre cirkeln (medsols). Enligt Greens sats är hela integralen 0, så integralen över den yttre cirkeln (motsols) + integralen över den inre cirkeln (medsols) är 0. Men integralen över den inre cirkeln (medsols) är - integralen över den inre cirkeln (motsols). Alltså är

Integral över yttre cirkeln (motsols)= Integral över inre cirkeln (motsols).

Den inre cirkeln är enhetscirkeln. Du kan ofta resonera på samma sätt med andra typer av kurvor. Det är svårt att skriva ned sådana här lösningar med ord, så om du är förvirrad av något kan du skriva det så ska jag försöka ge en förklaring.
In reply to Ludvig Olsson

Sv: Fråga video 6.1.

by Nestor Le Nestour -
Hej,
Jag tror jag förstår resonemanget för den andra frågan om övningsuppgiften. Men avseende applicerbarheten av Greens formel, kan man inte också applicera Greens formel för kurvor som utgör randen för ett kompakt område med hål i sig? Typ en doughnut. Varför är detta olika från att ha en funktion som ej är definerad i origo?

Tack!
Nestor
In reply to Nestor Le Nestour

Sv: Fråga video 6.1.

by Ludvig Olsson -
Om du har en donut i planet, alltså området mellan två cirklar där den ena ligger inuti den andra, kommer randen till området bestå av den yttre och den inre cirkeln med olika orienteringar. Alltså kan man inte dra en slutsats om att integralen över den yttre randen är 0, eftersom integralen över den inre randen kanske inte är det.

I exemplet kan i videon kan man alltså skära bort en liten cirkel där formen inte är definierad, men då måste man också räkna med integralen över den lilla cirkeln.