Diskussionsforum

Generaliserade integraler med konturintegraler

Generaliserade integraler med konturintegraler

by Nestor Le Nestour -
Number of replies: 3

Hej,

Jag har svårt att förstå metoden för att lösa de reella generaliserade integralerna med hjälp av konturintegraler. Det är inte klart för mig hur man hittar den komplexa delen som man ska förlänga med. Till exempel fråga K8, vad är en lämplig komplex del till \frac{1}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}. Som jag förstår det måste jag komma på en analytisk funktion vars reella del är integranden till den generaliserade integralen. Hur ska man hitta den förutom att "se direkt"?

Det vore också uppskattat att se några sådana uppgifter på en räkneövning. 

Tack!

Nestor

In reply to Nestor Le Nestour

Sv: Generaliserade integraler med konturintegraler

by Ludvig Olsson -
Det är inte så tydligt utifrån kompendiet, men när man har att göra med en integral på formen p(x)/q(x) där q(x) har grad åtminstone 2 större än p(x) (för att integralen ska konvergera) kan man räkna ut integralen
\int_{-\infty}^{\infty} \frac{p(x)}{q(x)} dx
genom att integrera funktionen f(z)=p(z)/q(z) över randen till en stor halvcirkel, som i figur 2 i kompendiet. Integralen över den övre delen av kurvan kommer att gå mot 0, så det räcker att beräkna residyerna som ligger på det övre halvplanet.

Du behöver alltså inte hitta en funktion med realdel p(x)/q(x), utan kan använda p(z)/q(z) direkt.
In reply to Ludvig Olsson

Sv: Generaliserade integraler med konturintegraler

by Ludvig Olsson -
Jag går även igenom exempel på räkneövningen imorgon, om det jag skrev var otydligt.