Matematik II - Analys del B VT23

Hej,

Har två frågor kring konservativa vektorfält. De tangerar till en av de tidigare frågorna men jag har inte kunnat hitta något bra svar vare sig i boken eller videorna eller online. Båda rör definitionen av potentialfält.

Definition av Potentialfält (Definition 2 i P&B, sida 344):

Vektorfältet F = (P,Q) kallas ett potentialfält eller ett konservativt fält i det öppna rummet Ω om det finns en C¹-funktion U i Ω sådan att F = grad U. Funktionen U kallas då en potential till F.

Fråga 1.

Definitionen kräver att funktionen U är av klass C¹ vilket är förståeligt då vi behöver kunna ta grad U. Dock så i så gott som alla exempel när vi vill ta reda på om ett vektorfält är konservativt så är funktionen U av klass C² eller så behöver funktionen vara det om den existerar. Men finns det potentialfält där potentialen är av klass C¹ men inte av av klass C²? Hur skulle en sådan se ut? Då gäller inte sats 4, att de blandade partiella derivatorna är lika, antar jag (då sats 4 kräver att U är av klass C²) men det känns som en viktig aspekt av potentialfält, så hur skulle det påverka fältets rotation (dess curl)?

Fråga 2.

Exempel 5, sida 333, som även tas upp av Martin Tamm i video 6.1, diskuteras på sida 348-349 i P&B. Exemplet rör magnetfältet B som definieras av

$\textbf{B} = \frac{(-y,x)}{x^2+y^2}, \ (x,y) \in \Omega$

där Ω är det i origo punkterade planet, R² \ {(0,0)}. Att detta inte är ett konservativt fält visas genom att visa att för en positivt orienterad cirkel runt origo, σ, så är

$\int_{\sigma} \textbf{B} \cdot d\textbf{r}= 2\pi \neq 0$.

Slutsatsen på sida 348 blir att "följaktligen saknar B potential". Men är inte funktionen U = atan2(y,x) (https://en.wikipedia.org/wiki/Atan2) en funktion av klass C¹ som i Ω ger att grad U = B? Jag är inte helt bekantad med funktionen atan2 men av vad jag har förstått så verkar det vara så. Borde inte då, enligt definitionen av konservativa fält, U vara en potential till B och därmed B vara ett potentialfält? Vad är det jag har missat? Eller är definitionen som formulerad i P&B förenklad för nivån på kursen?

atan2(y,x) = tan^-1(x,y).

$\frac{\delta}{\delta x} (tan^{-1}(x,y))= \frac{-y}{x^2+y^2}$

$\frac{\delta}{\delta y} (tan^{-1}(x,y))= \frac{x}{x^2+y^2}$

https://www.wolframalpha.com/input?i=derivative+of+atan2%28y%2Cx%29

$grad \ tan^{-1}(x,y) = (-\frac{y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2})$

https://www.wolframalpha.com/input?i=grad+atan2%28y%2Cx%29 

Jag fattar att dessa båda frågor inte tillhör standardproblemen vi kommer att få på tentan, men jag blev nyfiken på svaren och kunde inte hitta något när jag försökte hitta dem på egen hand.