Diskussionsforum

B14: 6.29

B14: 6.29

av Jon Petrus Isaksson -
Antal svar: 4

Hej!

Jag har hamnat lite på efterkälken men ska försöka hinna med så mycket som möjligt. Jag fastnade med integralen \int\int_{D}(x^4-y^4)dxdy över området 1 < x^2-y^2 < 4, \sqrt{17} < x^2+y^2 < 5, x < 0, y > 0. 

Jag gjorde variabelbytet u=x^2-y^2, v=x^2+y^2 och fick nya integralen \int\int_{E}\frac{1}{4}\frac{uv}{\sqrt{v^2-u^2}} efter att jag räknat ut jakobianen och bytt variabler. 

Vad jag har svårt att förstå är hur det här ger mig integralen över området i endast en kvadrant, vilket verkar vara fallet eftersom jag får rätt svar utan att dela resultatet med 4. Jag undrar också om det spelar någon roll här att jag ska integrera över just den andra kvadranten, blir inte resultatet precis detsamma oavsett vilka tecken jag har på x och y?

Allt gott

Petrus

Som svar till Jon Petrus Isaksson

Sv: B14: 6.29

av Ludvig Olsson -
Hej.

Avbildningen F(x,y)=(x^2-y^2,x^2+y^2) är inte injektiv om du inte håller dig i en kvadrant. För att satsen för variabelbyte ska stämma måste du ha en injektiv avbildning. Du har rätt i att ett val av en annan kvadrant kommer att ge samma resultat.

En sak som inte är så tydlig utifrån hur uppgiften är ställd är att F avbildar xy-planet på halvplanet u <= v (x^2-y^2<= x^2+y^2 eftersom y^2 >=0). Om du alltså hade haft gränser 1<x^2-y^2<4, 3 < x^2+y^2 < 5 skulle inte F träffa det område då u < v. Det blir inte ett problem för dig i uppgiften då 4 < \sqrt{17}.
Som svar till Ludvig Olsson

Sv: B14: 6.29

av Jon Petrus Isaksson -
Tack för ditt svar Ludvig! Jag förstod inte riktigt det sista. Skulle det stå något mer på näst sista raden efter "u"?