MM5011 VT23: Fråga K12. c

Diskussionsforum

Fråga K12. c

Hej,

Jag har en fråga angående K12. c. Är det rätt att argumentera som följande?

$\frac{kx}{1+kx} = \frac{1}{\frac{1}{kx}+1} \rightarrow 1$ för något nedåt begränsat

$x$ när

$k\rightarrow \infty.$

Men om vi låter

$x$ gå mot noll samtidigt som

$k$ går mot oändligheten får vi

$\frac{1}{kx} = \frac{x^{-1}}{k} \rightarrow 1$ då

$x^{-1}, k \rightarrow \infty$ . Således kan

$f$ ej vara kontinuerlig, och enligt sats kan vi inte ha likformig konvergens.

Tack!

Nestor

av Ludvig Olsson - tisdag, 9 maj 2023, 12:09

Hej Nestor. Påståendet att

$1/xk \to 1$ då

$1/x, k \to \infty$ är inte helt rätt, då det här beror på hur snabbt vi låter

$1/x$ och

$k$ gå mot

$\infty$ . Men iden i ditt argument är helt rätt, om man vill skriva om det till något som fungerar kan du skriva att om

$x_k=1/k$ så är

$f_k(x_k)=1/2$ , så om konvergensen

$f_k \to f$ är likformig måste

$1/2=\lim_{k \to \infty} f_k(x_k)=f(\lim_{k \to \infty} x_k)=f(0)$ , men

$\lim_{k \to \infty} \frac{0 \cdot x}{1+ 0 \cdot x}=0 \neq f(0)$ .