MM5011 VT23: Funktionsserier

Hej,

Jag har svårt att förstå funktionsserier. Jag förstår inte definitionerna för punktvis och likformig konvergens. I kompendiet står:

För $s(x) = \sum^\infty f_k$ , och $s_n(x) = \sum^nf_k$ , så är $s(x)$ punktvis konvergent om $\lim s_n(x) = s(x)$ , och likformig konvergent om $sup |s(x) - s_n(x)| \to 0$ . Jag förstår inte vad skillnaden är. Om vi skiver om defintionen av punktvis konvergens så får vi:

$s(x) = \lim s_n(x) \leftrightarrow \sum^\infty f_k - \lim \sum^nf_k = 0$ , men precis som i beviset till Weierstrass Majorantssats så är detta samma som $\sum_{k = n + 1}^\infty f_k$ . Härifrån ser jag bara sättet som i Weirstrass bevis för att fortsätta, dvs hitta en konvegent följd $\sum^\infty a_k$ och skriva om $\sum_{k = n+1}^\infty a_k = \sum_{k=1}^\infty - \sum_{k=1}^n$ vilket måste gå mot noll då $n$ går mot oändligheten. Men då har vi bevisat likformig konvergens enligt Weierstrass. Så vad är skillnaden?

Jag är också förvirrad kring vad skillnaden är till vanliga definitionen av generaliserade serier? För funktionsföljder ville vi att $f_k$ skulle konvergera till någon $f$ , här vill vi att $s_n$ ska konvergera till $s(x)$ , men $f_k$ stannar samma? Men hur vet vi vad $s(x)$ är? Definitionen av $s(x)$ som en generaliserad integral är just gränsvärdet av $s_n$ , eller missar jag något?

Tack!

Nestor

Sv: Funktionsserier

av Ludvig Olsson - tisdag, 9 maj 2023, 12:21

Hej Nestor. Det här är en viktig och inte helt uppenbar skillnad. Skillnaden mellan att kräva att

$sup|s(x)-s_n(x)| \to 0$ och att

$\lim s_n(x) =s(x)$ är att vi i det första fallet kan garantera att konvergensen sker "samtidigt", alltså oberoende av vad x är. I det andra fallet kan vissa punkter ta mycket längre tid på sig än andra att konvergera, vilket leder till att

$sup|s(x)-s_n(x)|$ inte går mot 0, det finns alltid en till punkt kvar som inte konvergerat.

Ett klassiskt exempel är

$s_n(x)=x^n$ , på intervallet

$[0,1)$ . Här konvergerar

$x^n$ mot 0 överallt. Vi har att

$\lim s_n(x)=x^n=0$ alltså. Men

$sup |x^n-0|=\sup x^n$ kommer inte att gå mot 0, då vi tex har en punkt

$x_n=(1/2)^{1/n}$ så att

$x_n^n=1/2$ . Problemet är att punkterna

$x_n$ som ligger närmare och närmare 1, konvergerar mer och mer långsamt mot 0, så att vi aldrig kan garantera att

$x^n$ ligger nära 0 överallt.

Sv: Funktionsserier

av Nestor Le Nestour - tisdag, 9 maj 2023, 17:14

Hej Ludvig,
Jag tror du missade min andra delfråga. Också i ditt svar, varför

$s(x) = 0$ ? Är inte

$s(x) := \sum^\infty f_k(x)$ ?

Tack!
Nestor

Sv: Funktionsserier

av Ludvig Olsson - tisdag, 9 maj 2023, 17:57

Hej. Jag tog ett exempel med en funktionsföljd istället för funktionsserie för att göra exemplet tydligare, men om du väljer

$f_k(x)=x^k-x^{k-1}$ för

$k \geq 1$ och

$f_0(x)=1$ så får du

$s_n(x)=x^n$ .

Jag förstår inte helt din andra fråga men ska försöka besvara den, om jag missförstår får du skriva.

Skillnaden mellan likformig konvergens av funktionsföljder