Dag 11. Potentialfält, analytiska funktioner

Dag 11. Potentialfält,  analytiska funktioner

F:11:1-5

Text: PB 10.5, K avsnitt 1-4

Analytiska funktioner kan karakteriseras på olika sätt, i avsnitt 3 diskuteras (komplex) deriverbarhet. Observera att detta är en väldigt stark egenskap, med tanke vilka konsekvenser det har, och hur många enkla funktioner av två variabler faktiskt inte är analytiska.

Avsnitt 4 kopplar till kurvintegraler i det komplexa talplanet. Cauchys integralformel (Sats 4.1) är mycket central och användbar.

I Avsnitt 5 använder man den för att beräkna vissa generaliserade integraler av reella funktioner, t.ex. längs hela reella axeln $\mathbb{R}$. Knepet är då att först titta på ändliga integraler (t.ex. längs ett reellt intervall $[-R, R]$). När $R \to \infty$ får man den generaliserade integralen man är intresserad i. Man kompletterar nu kurvan till en sluten kurva i det komplexa talplanet, t.ex. med en halvcirkel med radie $R$. Oftast är det så att denna komplexa integralen går lätt att beräkna, medan kurvintegralerna som man har lagt till, antingen också är lätta att beräkna eller (för det mesta) försvinner de när man går i gräns, i exemplet $R \to \infty$. Observera dock att kurvorna man lägger till beror ganska mycket på hur integranden och integrationintervallet ser ut, se exemplen.