Section outline

  • Collapse Expand

    Matematik II - Analys del B

    Collapse all Expand all
    Informationen nedan är preliminär. Vissa ändringar kan förekomma.
     
    Kursinnehåll

    Integralkalkyl i flera variabler, vektoranalys (kurvintegraler, Greens formel, ytintegraler, Gauss och Stokes satser, potentialer) samt något om likformig konvergens och analytiska funktioner.

    Undervisning

    Lärare:  Salvador Rodriguez-Lopez (kursledare) och Erik Avelin  (kursassistent)

    Undervisningsmodus:
    Föreläsning (cirka två timmar), därefter räkneövning+handledning (cirka två timmar) se schema. 
     

    Info till distansstudenter

    Distansvarianten av Analys B är huvudsakligen självstudiekurs. Deltagare i distanskursen är vidare välkomna att delta i föreläsningarna, övningarna (i mån av plats) på campus.  Det kommer att erbjudas tre ZOOM-träffar under kursens gång: En i början av kursen, en i mitten av kursen och en i slutet av kursen:

    Träff 1:

    • Datum: 7/4 
    • Tid:  16:00-17:30


    Träff 2:

    • Datum: 21/4
    • Tid: 16:00-17:30

    Träff 3:

    • Datum: 12/5
    • Tid: 16:00-17:30
     
    Videoföreläsningar:
    Som komplement till kurslitteraturen finns videoinspelningar tillgängliga.
     
    De inspelade filmerna på OVI täcker huvuddelen kursens innehåll, uppdelat i moment som svarar ungefär mot föreläsningsdagar på campusversioner av kursen. Varje moment är uppdelat i vanligtvis fyra till fem kortare klipp. Efter varje klipp följer ett problem som testar förståelse för materialet som presenteras i videon. Vi uppmuntrar till att först lösa dessa problem och sedan jämföra med lösningsförslag.
     

    Kurslitteratur: 

    Arne Persson & Lars-Christer Böiers, Analys i flera variabler, 3:e upplagan, Studentlitteratur (PB2)
    Kompendium om analytiska funktioner, likformig konvergens och potensserier, (K) tillgängligt nedan.
    Övningar i analys i flera variabler, Lund, 8:e upplagan (Ö)

     
    Diskussionsforum:
    Vi uppmanar  studenter att deltaga i kursens diskussionsforum, till exempel genom att ställa frågor eller komma med kommentarer på innehållet. Lärarna kommer löpande att bevaka forumet och svarar vanligtvis inom någon eller, under helgen, inom några dagar.
     
    Läsanvisningar och rekommenderade övningsuppgifter: 
    Rekommenderade uppgifter finnes nedan. Dessa kan komma att uppdateras under kursens gång.

    Kontakta gärna kursledningen via e-post om tryckfel eller andra felaktigheter i kursmaterialet uppdagas.

    Examination

    Kolla gärna scheman.su.se för den mest uppdaterad information om datum.

    Examinator: Salvador Rodriguez-Lopez

    Examinationsform: Skriftlig tentamen. Inga hjälpmedel är tillåtna.

    Frågor vid tentan
    Tentan omfattar problemlösningsorienterade frågor värda 20 poäng samt frågor av teoretisk karaktär värda 10 poäng.
    Teorifrågorna kommer vara markerade som sådana. Minst 4 poäng från teorifrågorna krävs för godkänt.
    Se tidigare tentor, instruktionerna i dem samt de blåmarkerade teoridelarna, om ni vill ha en mer konkret idé om formen. Observera dock att en del skrivningar gavs under pandemi-perioden, vilket kan medföra att deras format är något annorlunda.

    Tentamensregler vid Matematiska institutionen.

    Betygskriterier: Länk till betygskriterier.

    Resurser
  • Collapse Expand

    Dag 1. Dubbelintegraler: Definition av dubbelintegral, Riemannsummor.

    Dag 1. Dubbelintegraler: Definition av dubbelintegral, Riemannsummor.

    Text: PB: 6.1-6.3

    Kolla också material från Analys, del A.

    Video: F1:1-2

    Övningar: Se läsanvisningarna.

    Introduktionen till dubbelintegraler är delvis en repetition från Matematik I, men bara delvis eftersom vi nu definierar integraler även för inte nödvändigtvis kontinuerliga funktioner och framförallt även på mer generella mängder. Observera att i Analys, del A, definierades integralen via över- och underintegraler (som i sin tur var definierade med hjälp av supremum och infimum av integraler över trappfunktioner). Eftersom boken PB2 inte använder sig av supremum och infimum blir definitionen här lite annorlunda (men kunde göras ekvivalent även på samma sätt med supremum och infimum). 

    Läs avsnitt 6.1 och 6.2. Innehållet är mycket viktigt! Läs även 6.3 t.o.m. sida 255. 

    Börja alltid uppgifter som handlar om att beräkna en integral över en mängd med att fundera över hur mängden ser ut! Helst använder du dig av en skiss, men det kan ibland bli svårt om området inte är en delmängd av planet \mathbb{R}^2.

  • Collapse Expand

    Dag 2. Variabelsubstitution för dubbelintegraler. Generaliserade dubbelintegraler.

    Dag 2. Variabelsubstitution för dubbelintegraler. Generaliserade dubbelintegraler.

    Text: PB: 6.4,  6.6

    Video F 1: 3-5 2:1-3

    Övningar:  Se läsanvisningarna.

    I matematik I diskuterades några speciella variabelsubstitutioner (nämligen till polära koordinater och linjära transformationer). Nu blir det mer generella variabelbyten i 6.4. Läs sen 6.5 som handlar om generaliserade dubbelintegraler och lägg märke till skillnaden (och analogin) till motsvarande situation i en variabel.

  • Collapse Expand

    Dag 3. Trippelintegraler, multipelintegraler.

    Dag 3. Trippelintegraler,  multipelintegraler.

    Video F: 2: F 2:4-5 -F3:1-5

    Text: PB: 1.4.5 (andragradsytorna), 7.1-7.2, 8.1 
    Övningar:  Se läsanvisningarna.

    Börja med att läsa avsnitt 1.4.5 om andragradsytorna. Lägg särskilt märke till Exempel 19 och 20.

    Läs därefter avsnitt 7.1, särskilt exemplen med variabelbyte är viktiga. Funktionaldeterminanten vid bytet till rymdpolära koordinater kan du i framtiden bara använda, dvs om du kommer ihåg den, behöver du inte redovisa härledningen.

    Avsnitt 7.2 om multipelintegraler kan läsas översiktligt. Avrunda med exemplen i 8.1.


  • Collapse Expand

    Dag 4. Tangentvektor till kurva på parameterform, kurvintegraler i planet

    Dag 4. Tangentvektor till kurva på parameterform, kurvintegraler i planet

    F 4:1-5(observera beräkningen av volymen av klot i högre dimensioner)

    Text: PB: 3.1.1, 9.1 
    Övningar: Se läsanvisningarna.

    Börja med att läsa avsnitt 3.1.1 som introduktion (och repetition) om kurvor. Fortsätt med kapitel 9.1 om kurvintegraler, dvs integraler längs kurvor. Lägg särskilt märke till exempel 4 och 5.

  • Collapse Expand

    Dag 5. Greens formel och tillämpningar.

    Dag 5. Greens formel och tillämpningar.

    F:5:1-4

    Text: PB 9.2-9.3 (Samt början av 9.4)
    Övningar: Se läsanvisningarna.

    Greens formel länkar ihop en kurvintegral (över en enkel sluten kurva) med en dubbellintegral av en lämplig integrand över området som begränsas av kurvan. Läs 9.2 och lägg märke till hur Greens formel kan med fördel användas även för kurvintegraler över ej slutna kurvor, t.ex i exempel 7.

    I 9.3. tas upp två tillämpningar av Greens formel, nämligen areaberäkningen (av mer komplicerade områden än vi hittills klarade) och så kallade flödesintegraler.

    Börja till slut även bekanta dig med de nya begreppen i början av avsnitt 9.4 (t.o.m. sida 345).


  • Collapse Expand

    Dag 6. Potentialfält, kurvintegraler och vägoberoende.

    Dag 6. Potentialfält, kurvintegraler och vägoberoende.

    Text: PB 9.4

    F:6:1-5

    Övningar: Se läsanvisningarna.

    Läs hela avsnitt 9.4, som utgör en central del av kursen. Särskilt satserna 2 och 3 samt satserna 4 och 5 är viktiga här. Studera även noggrant exemplen, de illustrerar satsernas betydelse.



  • Collapse Expand

    Dag 7. Kurvintegraler i planet och rummet.

    Dag 7. Kurvintegraler i planet och rummet.

    F: 7:1-4

    Text: PB 9.4 (fortsättning) 10.1 (kurvintegraler)

    Nu fortsätter vi med vektoranalys i rummet, dvs i fokus är nu vektorfält i rummet (alltså funktioner av tre variabler och med tre komponenter). Börja med det korta avsnittet om kurvintegraler i Kapitel 10.1.

    Resten av dagen ägnas åt ytor och ytintegraler. Om du inte kommer ihåg, så kan du repetera 1.4.5, som är en inledande text om ytor.

    Fortsätt med avsnitt 3.1.2. och lägg särskilt märke till beräkning och tolkning av normalvektorn.

    Dessa används sen i avsnitt 8.2., som handlar om areor av buktiga ytor (dvs icke-plana ytor).

    Avsluta med texten om ytintegraler i 10.1.



  • Collapse Expand

    Dag 8. Ytor, normalvektorer, areor, och ytintegraler.

    Dag 8. Ytor, normalvektorer, areor, och ytintegraler.

    F:8:1-6

    Text: PB 10.1 (resten) 10.2, , (1.4.5), 3.1.2, 8.2

    Läs hela kapitel 10.2 om Gauss sats (som relaterar en ytintegral till en volymintegral) och lägg ner tid på att räkna uppgifter!



  • Collapse Expand

    Dag 9. Ytintegraler och Gauss sats.

    Dag 9. Ytintegraler och Gauss sats. 

    F:9:1-6

    Text: PB 10.1 (resten) 10.2 

    Läs avsnitt 10.3 som behandlar Stokes sats. Se även här till att du har tillräckligt med tid för att verkligen räkna flera uppgifter!

    Avsnitt 10.4 introducerar lite mer formellt (och mycket praktiskt) räkning med differentialoperatorer.



  • Collapse Expand

    Dag 10. Stokes sats. Nablaräkning.

    Dag 10. Stokes sats. Nablaräkning.

    F:10:1-4

    Text: PB 10.3 och 10.4.

    I avsnitt 10.5 handlar det igen om potentialfält, fast nu i \mathbb{R}^3.

    Läs sen avsnitt 1-2 i kompendium K. Där handlar det om komplexvärda funktioner av en komplex variabel, som också kan ses som två reella variabler, nämligen real- och imaginärdelen.


  • Collapse Expand

    Dag 11. Potentialfält, analytiska funktioner

    Dag 11. Potentialfält,  analytiska funktioner

    F:11:1-5

    Text: PB 10.5, K avsnitt 1-4

    Analytiska funktioner kan karakteriseras på olika sätt, i avsnitt 3 diskuteras (komplex) deriverbarhet. Observera att detta är en väldigt stark egenskap, med tanke vilka konsekvenser det har, och hur många enkla funktioner av två variabler faktiskt inte är analytiska.

    Avsnitt 4 kopplar till kurvintegraler i det komplexa talplanet. Cauchys integralformel (Sats 4.1) är mycket central och användbar.

    I Avsnitt 5 använder man den för att beräkna vissa generaliserade integraler av reella funktioner, t.ex. längs hela reella axeln \mathbb{R}. Knepet är då att först titta på ändliga integraler (t.ex. längs ett reellt intervall [-R, R]). När R \to \infty får man den generaliserade integralen man är intresserad i. Man kompletterar nu kurvan till en sluten kurva i det komplexa talplanet, t.ex. med en halvcirkel med radie R. Oftast är det så att denna komplexa integralen går lätt att beräkna, medan kurvintegralerna som man har lagt till, antingen också är lätta att beräkna eller (för det mesta) försvinner de när man går i gräns, i exemplet R \to \infty. Observera dock att kurvorna man lägger till beror ganska mycket på hur integranden och integrationintervallet ser ut, se exemplen.




  • Collapse Expand

    Dag 12. Analytiska funktioner och likformig konvergens.

    Dag 12. Analytiska funktioner och likformig konvergens.

    Text: K avsnitt 5-7 (början)
    Övningar:


    Vi kommer i slutet av kursen se att analytiska funktioner har ännu en ekvivalent beskrivning via serier. Innan dess behöver vi dock diskutera konvergens av funktionsföljder (och funktionsserier).
    Hittills betraktades följder av reella eller även komplexa tal. Men nu betraktar vi följder av funktioner f_k(t), dvs för varje punkt t \in D har vi en följd av tal. Fokus ligger på frågan hur ”konvergensen beror” på t.
    Det visar sig att om en funktionsföljd konvergerar likformigt, så är den rätt så ”robust”, t.ex. satser 6.1-6.3 gäller. Lägg särskilt märke till Anmärkning 6.1 och exemplen.
    Observera också att de flesta utsagor gäller för komplexvärda funktioner som är definierade i en mängd D \subset \mathbb{C}. Då är alltså ett reellt intervall [a, b] ett specialfall.




  • Collapse Expand

    Dag 13. Serier; potensserier.

    Dag 13. Serier; potensserier.

    Text: K avsnitt 7-8

    F:13:1-5

    I avsnitt 7 tillämpas satserna om funktionsföljder till specialfallet av funktionsserier. Fortsätt med avsnitt 8, där studeras en väldigt viktig klass av funktionsserier, nämligen potensserier.


  • Collapse Expand

    Dag 14. Potensserier och analytiska funktion

    Dag 14. Potensserier och analytiska funktioner.

    Text: K avsnitt 9-10

    F:14:1-4

    Avsnitt 9 utgör nu höjdpunkten av hela kapitlet, nämligen sats 9.3. Observera att det också betyder: Om en funktion är (komplext) deriverbar i en liten omgivning av en punkt, då är den redan godtyckligt många gånger deriverbar i denna omgivning!

    Slutligen används potensserier i samband med differentialekvationer som en metod att lösa annars svårlösta ekvationer.